Giải tích Ví dụ

$lim_{z \to 8} {(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}}$ ở dạng $e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$ .

$lim_{z \to 8} e^{\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(e^{2 z} + 3 z)}^{\frac{1}{z}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{z}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{z \to 8} e^{\frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{z \to 8} \frac{1}{z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $8$ .

$e^{\frac{lim_{z \to 8} 1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $z$ tiến dần đến $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot lim_{z \to 8} \ln (e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2.5

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + 3 z)}$

Bước 2.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $z$ tiến dần đến $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (lim_{z \to 8} e^{2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Bước 2.7

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{lim_{z \to 8} 2 z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Bước 2.8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $z$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + lim_{z \to 8} 3 z)}$

Bước 2.9

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $z$ .

$e^{\frac{1}{lim_{z \to 8} z} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $8$ cho $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 lim_{z \to 8} z} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $8$ cho $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 lim_{z \to 8} z)}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $z$ bằng cách điền vào $8$ cho $z$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{2 \cdot 8} + 3 \cdot 8)}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $2$ với $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 3 \cdot 8)}$

Bước 4.1.2

Nhân $3$ với $8$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (e^{16} + 24)}$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $\ln (e^{16} + 24)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e^{\frac{\ln (e^{16} + 24)}{8}}$

Dạng thập phân:

$7.38905859 \dots$