Giải tích Ví dụ

$lim_{y \to 0} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Bước 1

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{y \to 0^{-}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Bước 2

Tính các giới hạn bằng cách điền vào giá trị cho biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của $5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ bằng cách điền vào $0$ cho $y$ .

$5 \cdot 0^{2 \cot (- 5 \cdot 0) \csc (- 8 \cdot 0)}$

Bước 2.2

Viết lại $\cot (- 5 \cdot 0)$ theo sin và cosin.

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (- 5 \cdot 0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Bước 2.3

Nhân $- 5$ với $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Bước 2.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$

Bước 2.5

Vì $5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$ không xác định, nên giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$

Bước 3

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{y \to 0^{+}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Bước 4

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $y$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

Bước 4.2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ ở dạng $e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$ .

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$

Bước 4.2.2

Khai triển $\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})$ bằng cách di chuyển $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))$ ra bên ngoài lôgarit.

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$

Bước 4.3

Vì số mũ $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)$ tiến dần đến $- \infty$ , nên số lượng $e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$ tiến dần đến $0$ .

$5 \cdot 0$

Bước 4.4

Nhân $5$ với $0$ .

$0$

Bước 5

Nếu một trong các giới hạn một bên không tồn tại, thì giới hạn không tồn tại.

$Không tồn tại$