Giải tích Ví dụ

$lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $y$ tiến dần đến $2$ .

$\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 3

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $y$ .

$\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 4

Đưa số mũ $3$ từ $y^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 5

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $y$ .

$\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $y$ bằng cách điền vào $2$ cho $y$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2}$

Bước 7.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $8 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2}$

Bước 7.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2}$

Bước 7.1.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1)}$

Bước 7.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Bước 7.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1}$

Bước 7.1.4.4

Chia $2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$ cho $1$ .

$2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$

Bước 7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Nhân $2$ với $2^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2$

Bước 7.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{1 + 3} + 4 \cdot 2$

Bước 7.2.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$2^{4} + 4 \cdot 2$

Bước 7.2.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$16 + 4 \cdot 2$

Bước 7.2.3

Nhân $4$ với $2$ .

$16 + 8$

Bước 7.3

Cộng $16$ và $8$ .

$24$