Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

Bước 1

Nhân $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ với $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Bước 2.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Bước 2.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Bước 2.1.2.3

Logarit cơ số $4$ của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

Bước 2.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

Bước 2.1.3.3

Logarit cơ số $2$ của $1$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\log_{4} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\log_{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x \ln (2)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

Bước 2.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

Bước 2.5.2

Kết hợp $\frac{x}{x \ln (4)}$ và $\ln (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

Bước 3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\ln (4)$ ở dạng $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

Bước 3.2.2

Khai triển $\ln (2^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

Bước 3.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$0.5$