Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Trừ $x^{6}$ khỏi $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Bước 2.2.2

Cộng $- 5 x^{3}$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{6} - 5 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

Bước 3.1.1.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

Bước 3.1.1.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Bước 3.1.2

Viết lại $x^{3} (x^{3} - 5)$ ở dạng $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Bước 3.1.2.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

Bước 3.1.3

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Bước 3.2

Chuyển số hạng $- 5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

Bước 4

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Bước 5.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Bước 6

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Bước 6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Bước 6.2

Cộng $1$ và $3$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Bước 7.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Bước 7.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.5

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4} - 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 5 x$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 8

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 10

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 10.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 10.3

Viết lại biểu thức.

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 11

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 11.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 12

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.2.2

Viết lại biểu thức.

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 13.6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 14

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 15

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 15.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 15.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

Bước 15.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Chia $1 - 5 \cdot 0$ cho $1$ .

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

Bước 15.4.2

Chia $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ cho $1$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

Bước 15.4.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.3.1

Nhân $- 5$ với $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

Bước 15.4.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

Bước 15.4.3.3

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

Bước 15.4.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Bước 15.4.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Bước 15.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{2}$

Bước 16

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{5}{2}$

Dạng thập phân:

$- 2.5$