Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

Bước 1

Viết lại $\tan (x) \ln (x)$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

Bước 2

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Bước 2.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

Bước 2.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Bước 2.1.3.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Bước 2.1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ sang $\cot (x)$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Bước 2.1.3.2

Khi giá trị $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, giá trị hàm số tăng mà không bị giới hạn.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 2.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 2.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{- \infty}{\infty}$

Bước 2.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Bước 2.3.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

Bước 2.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Bước 2.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Bước 2.3.6.2

Nhân $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

Bước 2.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.13

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.14

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.15

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.17

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.18.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.18.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \cos^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18.1.4

Áp dụng đẳng thức pytago.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.3.18.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

Bước 2.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

Bước 2.5

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Bước 3

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.2.1.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.2.3.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \frac{0}{0}$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$- \frac{0}{0}$

Bước 4.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.4.2

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.4.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.4.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

Bước 4.4

Chia $\sin (2 x)$ cho $1$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Bước 5.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Bước 6

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$- \sin (2 \cdot 0)$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $2$ với $0$ .

$- \sin (0)$

Bước 7.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- 0$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0$