Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} (x^{3}) \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Bước 1.2

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to 0} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Bước 2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$0^{3} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x}) = 0$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$0^{3} \cdot 0 = 0$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $0^{3}$ với $0$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $0^{3}$ với $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Nâng $0$ lên lũy thừa $1$ .

$0^{3} \cdot 0^{1} = 0$

Bước 9.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0^{3 + 1} = 0$

Bước 9.1.2

Cộng $3$ và $1$ .

$0^{4} = 0$

Bước 9.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 = 0$