Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

Bước 1

Viết lại $(x^{2}) \cot (x^{2})$ ở dạng $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 2

Lập giới hạn ở dạng giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 3

Tính giới hạn trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 3.1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 3.1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 3.1.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 3.1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.1.1

Viết lại $\cot (x^{2})$ theo sin và cosin.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Bước 3.1.1.3.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Bước 3.1.1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ sang $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

Bước 3.1.1.3.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

Bước 3.1.1.3.2.2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

Bước 3.1.1.3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Bước 3.1.1.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.3.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Bước 3.1.1.3.4.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.1.3.4.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.1.3.5

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.3

Viết lại $\cot (x^{2})$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Bước 3.1.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.6.1

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.6.2

Nhân $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 3.1.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x^{2})$ và $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.9

Nâng $\cos (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.10

Nâng $\cos (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.14.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.14.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.16

Nhân $\sin (x^{2})$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.17

Nâng $\sin (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.18

Nâng $\sin (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.20

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.21

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.22.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.22.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.3.22.4

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 3.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Bước 3.1.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Bước 3.1.5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Bước 3.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Bước 3.1.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Bước 3.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Bước 3.1.6.2.2

Chia $\cos^{2} (x^{2})$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

Bước 3.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x^{2})$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Bước 3.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

Bước 3.2.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Bước 3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Bước 3.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1^{2}$

Bước 3.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1$

Bước 4

Lập giới hạn ở dạng giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 5

Tính giới hạn phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 5.1.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 5.1.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 5.1.1.2.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

Bước 5.1.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.1.1

Viết lại $\cot (x^{2})$ theo sin và cosin.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

Bước 5.1.1.3.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Bước 5.1.1.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ sang $\tan (x^{2})$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

Bước 5.1.1.3.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

Bước 5.1.1.3.2.2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

Bước 5.1.1.3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

Bước 5.1.1.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.3.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Bước 5.1.1.3.4.2

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.1.3.4.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.1.3.5

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.3

Viết lại $\cot (x^{2})$ theo sin và cosin.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

Bước 5.1.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.6.1

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.6.2

Nhân $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

Bước 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.8.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.9

Nâng $\cos (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.10

Nâng $\cos (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.14.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.14.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.14.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.15

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.16

Nhân $\sin (x^{2})$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.17

Nâng $\sin (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.18

Nâng $\sin (x^{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.20

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.21

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.22.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.22.1.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22.1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22.1.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.3.22.4

Nhân $2$ với $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

Bước 5.1.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Bước 5.1.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

Bước 5.1.5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Bước 5.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

Bước 5.1.6.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Bước 5.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

Bước 5.1.6.2.2

Chia $\cos^{2} (x^{2})$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

Bước 5.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa số mũ $2$ từ $\cos^{2} (x^{2})$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

Bước 5.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

Bước 5.2.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

Bước 5.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\cos^{2} (0^{2})$

Bước 5.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\cos^{2} (0)$

Bước 5.4.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$1^{2}$

Bước 5.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1$

Bước 6

Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên giới hạn bằng $1$ .

$1$