Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 4

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 7

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 8

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Bước 9

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 10

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Bước 11

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Bước 12

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

Bước 13.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

Bước 13.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\sqrt{0} \cdot 0$

Bước 13.4

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

Bước 13.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0 \cdot 0$

Bước 13.6

Nhân $0$ với $0$ .

$0$