Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Bước 5

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

Bước 8

Đưa số mũ $2$ từ $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

Bước 10

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Bước 11

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{2 π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

Bước 12

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{2 π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $0$ .

$0$

Bước 13

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

Bước 14

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (\frac{2 π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

Bước 15

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $0$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (\frac{2 π}{x})$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $0$ .

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.4

Cộng $0$ và $0$ .

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.5

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

Bước 16.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.7.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 \cdot (1 - 0)$

Bước 16.7.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$0 \cdot (1 + 0)$

Bước 16.8

Cộng $1$ và $0$ .

$0 \cdot 1$

Bước 16.9

Nhân $0$ với $1$ .

$0$