Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

Bước 1

Áp dụng các đẳng thức lượng giác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ ở dạng một tích.

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 1.2

Viết $\sin (4 x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Chia $\sin (4 x)$ cho $1$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 1.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

Bước 3

Xét giới hạn trái.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

Bước 4

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (4 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Bước 5

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $4$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (4 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên trái là $4$ .

$4$

Bước 6

Xét giới hạn phải.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

Bước 7

Tạo một bảng để hiển thị độ biến thiên của hàm số $\sin (4 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải.

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

Bước 8

Khi các giá trị $x$ tiến dần đến $0$ , các giá trị hàm số tiến dần đến $4$ . Cho nên, giới hạn của $\sin (4 x) \csc (x)$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải là $4$ .

$\sqrt{4}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Bước 9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2$