Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

Bước 1

Chuyển số hạng $5 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 5

Chuyển số hạng $2 π$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 7

Chuyển số hạng $\frac{5 π}{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 9

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 10

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

Bước 11

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.3

Viết lại $\sec (0)$ theo sin và cosin.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.5

Nhân $\cos (0)$ với $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.7

Nhân $\frac{5 π}{4}$ với $1$ .

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.8

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.9

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.10

Nhân $2$ với $1$ .

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

Bước 13.1.11

Nhân $- 1$ với $3$ .

$5 π (3 + 2 π - 3)$

Bước 13.2

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$5 π (2 π + 0)$

Bước 13.3

Cộng $2 π$ và $0$ .

$5 π (2 π)$

Bước 13.4

Nhân $5 π (2 π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$10 π π$

Bước 13.4.2

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (π^{1} π)$

Bước 13.4.3

Nâng $π$ lên lũy thừa $1$ .

$10 (π^{1} π^{1})$

Bước 13.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$10 π^{1 + 1}$

Bước 13.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$10 π^{2}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$10 π^{2}$

Dạng thập phân:

$98.69604401 \dots$