Giải tích Ví dụ

$\frac{lim_{x \to - 1} (f (x)) (x^{2} - 4 x - 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 4 x - 5}{x^{3} + 1}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 4 x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 4

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 5

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} f (x) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- 1$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $f (x)$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 4 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- 1$ cho $x$ .

$\frac{f (- 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{f (- 1) (1 - 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 7.1.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$\frac{f (- 1) (1 + 4 - 1 \cdot 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 7.1.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{f (- 1) (1 + 4 - 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 7.1.4

Cộng $1$ và $4$ .

$\frac{f (- 1) (5 - 5)}{x^{3} + 1}$

Bước 7.1.5

Trừ $5$ khỏi $5$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{x^{3} + 1}$

Bước 7.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{x^{3} + 1^{3}}$

Bước 7.2.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Bước 7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Bước 7.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{f (- 1) \cdot 0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Bước 7.3

Nhân $f (- 1)$ với $0$ .

$\frac{0}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Bước 7.4

Chia $0$ cho $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$0$