Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 3} \sqrt[3]{\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 3} \frac{1 - x^{2}}{1 - x^{3}}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Bước 4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - lim_{x \to 3} x^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - x^{3}}}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{lim_{x \to 3} 1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - lim_{x \to 3} x^{3}}}$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $3$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - {(lim_{x \to 3} x)}^{3}}}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $3$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 3^{2}}{1 - 3^{3}}}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 1 \cdot 9}{1 - 3^{3}}}$

Bước 10.2

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\sqrt[3]{\frac{1 - 9}{1 - 3^{3}}}$

Bước 10.3

Trừ $9$ khỏi $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 3^{3}}}$

Bước 10.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 1 \cdot 27}}$

Bước 10.5

Nhân $- 1$ với $27$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{1 - 27}}$

Bước 10.6

Trừ $27$ khỏi $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 8}{- 26}}$

Bước 10.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $- 26$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 8$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 (4)}{- 26}}$

Bước 10.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.2.1

Đưa $- 2$ ra ngoài $- 26$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Bước 10.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sqrt[3]{\frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 13}}$

Bước 10.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$

Bước 10.8

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{4}{13}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$

Bước 10.9

Nhân $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Bước 10.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{13}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Bước 10.10.2

Nâng $\sqrt[3]{13}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Bước 10.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Bước 10.10.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Bước 10.10.5

Viết lại ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ ở dạng $13$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{13}$ ở dạng $13^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 10.10.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 10.10.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Bước 10.10.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Bước 10.10.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Bước 10.10.5.5

Tính số mũ.

$\frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Bước 10.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.11.1

Viết lại ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{13^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Bước 10.11.2

Nâng $13$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{169}}{13}$

Bước 10.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.12.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{\sqrt[3]{4 \cdot 169}}{13}$

Bước 10.12.2

Nhân $4$ với $169$ .

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt[3]{676}}{13}$

Dạng thập phân:

$0.67510638 \dots$