Giải tích Ví dụ

$\csc^{2} (e^{4 x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \csc (e^{4 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\csc (e^{4 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\csc (e^{4 x})$ .

$2 \csc (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [\csc (e^{4 x})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \csc (x)$ và $g (x) = e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $e^{4 x}$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{4 x}$ .

$2 \csc (e^{4 x}) (- \csc (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \csc (e^{4 x}) (\csc (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 4

Nâng $\csc (e^{4 x})$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (e^{4 x}) \csc (e^{4 x})) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 5

Nâng $\csc (e^{4 x})$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 (\csc^{1} (e^{4 x}) \csc^{1} (e^{4 x})) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 {\csc (e^{4 x})}^{1 + 1} (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) (\cot (e^{4 x}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $4 x$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $4 x$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 9.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 9.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) (e^{4 x} \cdot 1)$

Bước 9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nhân $e^{4 x}$ với $1$ .

$- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) e^{4 x}$

Bước 9.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 8 \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x}) e^{4 x}$ .

$- 8 e^{4 x} \csc^{2} (e^{4 x}) \cot (e^{4 x})$