Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

Bước 7

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 8

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $4$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

Bước 11.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.2

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.3

Trừ $12$ khỏi $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.4

Cộng $4$ và $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.5

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.6

Nhân $2$ với $16$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

Bước 12.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

Bước 12.8

Trừ $4$ khỏi $32$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{28 - 1}}$

Bước 12.9

Trừ $1$ khỏi $28$ .

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Bước 12.10

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}$

Bước 12.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{27}}$

Bước 12.11.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\frac{2}{\sqrt[3]{27}}$

Bước 12.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.12.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{2}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Bước 12.12.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$\frac{2}{3}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2}{3}$

Dạng thập phân:

$0.\overline{6}$