Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $\frac{1}{\sqrt{4}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

Bước 1.2

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Bước 1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sqrt{4} \cdot 2$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{4}}$ với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sqrt{4} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Bước 1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

Bước 2

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ với $\frac{1}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tính giới hạn của $2 - \sqrt{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.2.2.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.2.2.2

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chuyển số hạng $2 \sqrt{4}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

Bước 3.1.3.1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

Bước 3.1.3.1.3

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

Bước 3.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $4$ cho $x$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

Bước 3.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

Bước 3.1.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

Bước 3.1.3.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

Bước 3.1.3.3.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

Bước 3.1.3.3.5

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

Bước 3.1.3.3.6

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.3.7

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 1 \cdot 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.5

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.6

Tính $\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.6.2

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.7

Cộng $0$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

Bước 3.3.8

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

Bước 3.3.9

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

Bước 3.3.10

Nhân $2$ với $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

Bước 3.3.11

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 (x - 4)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Bước 3.3.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Bước 3.3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Bước 3.3.14

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

Bước 3.3.15

Cộng $1$ và $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

Bước 3.3.16

Nhân $4$ với $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

Bước 3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$lim_{x \to 4} 0$

Bước 4

Tính giới hạn của $0$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $4$ .

$0$