Giải tích Ví dụ

$(9 x \sec (3 x^{2} - 7)) (\tan (3 x))$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x \sec (3 x^{2} - 7)$ và $g (x) = \tan (3 x)$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)$ .

$9 (3 \cdot (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sec (3 x^{2} - 7)$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} - 7)] + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x^{2} - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x^{2} - 7$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x^{2} - 7$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.4

Nhân $2$ với $3$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + 0)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 7.6

Cộng $6 x$ và $0$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x^{1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1 + 1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $1$ và $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 11.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \cdot (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7) \cdot 1))$

Bước 13

Nhân $\sec (3 x^{2} - 7)$ với $1$ .

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7)))$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Bước 14.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $3$ với $9$ .

$27 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Bước 14.3.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\tan (3 x) x^{2}$ .

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 9 (6 \cdot (\tan (3 x) x^{2}) \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

Bước 14.3.3

Nhân $6$ với $9$ .

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 54 \tan (3 x) x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7)$

Bước 14.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$27 x \sec^{2} (3 x) \sec (3 x^{2} - 7) + 54 x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$