Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - 4 x + 8) e^{\frac{x}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} - 4 x + 8$ và $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{\frac{x}{2}}$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 3.4

Nhân $x^{2} - 4 x + 8$ với $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 4 x + 8$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 3.7

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 3.9

Nhân $- 4$ với $1$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Bước 3.10

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 + 0)$

Bước 3.11

Cộng $2 x - 4$ và $0$ .

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x \frac{- 4 e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.3

Kết hợp $x$ và $\frac{- 4 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x (- 4 e^{\frac{x}{2}})}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $x (- 4 e^{\frac{x}{2}})$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2 (1)} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2 \cdot 1} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x (- 2 e^{\frac{x}{2}})}{1} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.4.2.4

Chia $x (- 2 e^{\frac{x}{2}})$ cho $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.5

Kết hợp $8$ và $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{8 e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2 (1)} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{4 e^{\frac{x}{2}}}{1} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.6.2.4

Chia $4 e^{\frac{x}{2}}$ cho $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 4 e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

Bước 4.3.7

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 4 e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) - 4 \cdot e^{\frac{x}{2}}$

Bước 4.3.8

Di chuyển $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} - 2 \cdot x e^{\frac{x}{2}} + 2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}$

Bước 4.3.9

Cộng $- 2 x e^{\frac{x}{2}}$ và $2 x e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} + 0 - 4 e^{\frac{x}{2}}$

Bước 4.3.10

Cộng $\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}$

Bước 4.3.11

Trừ $4 e^{\frac{x}{2}}$ khỏi $4 e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 0$

Bước 4.3.12

Cộng $\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$ và $0$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x^{2}}{2}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{\frac{x}{2}} x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$