Giải tích Ví dụ

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

Bước 1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $arcsec (\frac{u}{2})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Do đó, $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ là $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ ở dạng ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 1.3

Viết lại $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ là $f' (g (u)) g' (u)$ trong đó $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ và $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 7

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ là $f' (g (u)) g' (u)$ trong đó $f (u) = u^{2}$ và $g (u) = \frac{u}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $2$ và $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.2.2

Chia $u$ cho $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , nên đạo hàm của $\frac{u}{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.6

Nhân $\frac{u}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

Bước 9.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $u$ là $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

Bước 9.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1

Cộng $\frac{u}{2}$ và $0$ .

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

Bước 9.8.2

Nhân $\frac{u}{2}$ với $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 9.8.3

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{u}{2}$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$