Giải tích Ví dụ

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

Bước 2

Viết lại $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ ở dạng một tích.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Bước 3

Viết $\sin (t)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia $\sin (t)$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

Bước 4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (2 t)}$ sang $\csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = \sin (t)$ và $g (t) = \csc (2 t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \csc (t)$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 6.2

Đạo hàm của $\csc (u)$ đối với $u$ là $- \csc (u) \cot (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 7.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Bước 8

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\sin (t)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.3

Kết hợp $\csc (2 t)$ và $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.4

Kết hợp $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ và $\cot (2 t)$ .

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.5.2.4

Chia $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ cho $1$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

Bước 9.2.6

Kết hợp $\csc (2 t)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

Bước 9.2.7

Kết hợp $\frac{\csc (2 t)}{2}$ và $\cos (t)$ .

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Viết lại $\cot (2 t)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.2

Viết lại $\csc (2 t)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.3

Nhân $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Nhân $\frac{1}{\sin (2 t)}$ với $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.3.2

Nâng $\sin (2 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.3.3

Nâng $\sin (2 t)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.4

Kết hợp $\sin (t)$ và $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ .

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.5

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.6.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.6.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.6.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.6.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.7

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.7.1

Đưa $\sin (t)$ ra ngoài $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ .

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.7.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.8

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.9

Viết lại $\csc (2 t)$ theo sin và cosin.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

Bước 9.4.10

Kết hợp $\frac{1}{\sin (2 t)}$ và $\cos (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

Bước 9.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.1

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Bước 9.4.11.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

Bước 9.4.11.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

Bước 9.4.12

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 9.4.13

Nhân $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.13.1

Nhân $\frac{1}{2 \sin (t)}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

Bước 9.4.13.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Tách các phân số.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.2

Viết lại $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.3

Viết $\cos (2 t)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.4.1

Chia $\cos (2 t)$ cho $1$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.4.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.5

Nhân với $1$ .

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.6

Tách các phân số.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ sang $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.8

Nhân $4$ với $1$ .

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sec^{2} (t)$ .

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.10

Nhân $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.10.1

Kết hợp $\cos (2 t)$ và $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ .

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.10.2

Kết hợp $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ và $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

Bước 9.5.11

Tách các phân số.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Bước 9.5.12

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (t)}$ sang $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

Bước 9.5.13

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\csc (t)$ .

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$