Giải tích Ví dụ

$9 \sqrt{t} e^{t} + t$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 \sqrt{t} e^{t} + t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [9 \sqrt{t} e^{t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.2

Vì $9$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $9 t^{\frac{1}{2}} e^{t}$ đối với $t$ là $9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} e^{t}] + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = e^{t}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [e^{t}] + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ là $a^{t} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + e^{t} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.12

Kết hợp $e^{t}$ và $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t} t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 2.13

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [t]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 1$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$9 (t^{\frac{1}{2}} e^{t}) + 9 \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Bước 4.2

Kết hợp $9$ và $\frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 t^{\frac{1}{2}} e^{t} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$

Bước 4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 e^{t} t^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1$