Giải tích Ví dụ

$\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1000}{2 t + 6} - \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [\frac{1000}{2 t + 6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1000$ và $2 t + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $1000$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 t + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 6}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t) + 2 (3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (t) + 2 (3)$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 500}{2 (t + 3)}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d t} [\frac{500}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.2

Vì $500$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{500}{t + 3}$ đối với $t$ là $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 3}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{1}{t + 3}$ ở dạng ${(t + 3)}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(t + 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = t + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $t + 3$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t + 3$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 3]) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 3$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [3])) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.7

Vì $3$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $3$ đối với $t$ là $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} (1 + 0)) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $0$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2} \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$500 (- {(t + 3)}^{- 2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 2.10

Nhân $- 1$ với $500$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + \frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 2000$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- \frac{2000}{{(2 t + 6)}^{2}}$ đối với $t$ là $- 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{2}}$ ở dạng ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 \frac{d}{d t} [{({(2 t + 6)}^{2})}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = {(2 t + 6)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${(2 t + 6)}^{2}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [{(2 t + 6)}^{2}])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{2}$ và $g (t) = 2 t + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 u_{3} \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 t + 6$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) \frac{d}{d t} [2 t + 6]))$

Bước 3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t + 6$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [6])))$

Bước 3.6

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6])))$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6])))$

Bước 3.8

Vì $6$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $6$ đối với $t$ là $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Bước 3.9

Nhân các số mũ trong ${({(2 t + 6)}^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{2 \cdot - 2} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Bước 3.9.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 \cdot 1 + 0)))$

Bước 3.10

Nhân $2$ với $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) (2 + 0)))$

Bước 3.11

Cộng $2$ và $0$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (2 (2 t + 6) \cdot 2))$

Bước 3.12

Nhân $2$ với $2$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- {(2 t + 6)}^{- 4} (4 (2 t + 6)))$

Bước 3.13

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 4} (2 t + 6))$

Bước 3.14

Nâng $2 t + 6$ lên lũy thừa $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 ({(2 t + 6)}^{1} {(2 t + 6)}^{- 4}))$

Bước 3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{1 - 4})$

Bước 3.16

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} - 2000 (- 4 {(2 t + 6)}^{- 3})$

Bước 3.17

Nhân $- 4$ với $- 2000$ .

$- 500 {(t + 3)}^{- 2} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 {(2 t + 6)}^{- 3}$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 500 \frac{1}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Bước 4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Kết hợp $- 500$ và $\frac{1}{{(t + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Bước 4.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + 8000 \frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $8000$ và $\frac{1}{{(2 t + 6)}^{3}}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 6)}^{3}}$

Bước 4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t) + 6)}^{3}}$

Bước 4.4.1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 t + 2 \cdot 3)}^{3}}$

Bước 4.4.1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 t + 2 \cdot 3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{{(2 (t + 3))}^{3}}$

Bước 4.4.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (t + 3)$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{2^{3} {(t + 3)}^{3}}$

Bước 4.4.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Bước 4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $8000$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8000$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Bước 4.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8 {(t + 3)}^{3}$ .

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 ({(t + 3)}^{3})}$

Bước 4.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{8 \cdot 1000}{8 {(t + 3)}^{3}}$

Bước 4.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{500}{{(t + 3)}^{2}} + \frac{1000}{{(t + 3)}^{3}}$