Giải tích Ví dụ

$x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \tan (4 \sqrt{x}) + 14$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [x \tan (4 \sqrt{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (4 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) (4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.13

Kết hợp $4$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.15

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.16

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.16.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.16.3

Viết lại biểu thức.

$x (\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.17

Kết hợp $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.18

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{2 \cdot \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.19

Kết hợp $x$ và $\frac{2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.20

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.21.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.21.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 2.22

Nhân $\tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ với $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [14]$

Bước 3

Vì $14$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $14$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Cộng $x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$ và $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (2 \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}})) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (4 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (4 x^{\frac{1}{2}})$