Giải tích Ví dụ

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{4}$ và $g (a) = a + b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $a + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $a + b$ .

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a + b$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.4

Vì $b$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $b$ đối với $a$ là $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.5

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.2.6

Nhân $4$ với $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $- {(a - b)}^{4}$ đối với $a$ là $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{4}$ và $g (a) = a - b$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $a - b$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

Bước 1.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a - b$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

Bước 1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

Bước 1.3.5

Vì $- b$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $- b$ đối với $a$ là $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

Bước 1.3.6

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

Bước 1.3.7

Nhân $4$ với $1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

Bước 1.3.8

Nhân $4$ với $- 1$ .

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 {(a + b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

Bước 1.4.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 {(a - b)}^{3}$ .

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

Bước 1.4.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ .

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

Bước 1.4.2.2

Sử dụng định lý nhị thức.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.6

Nhân $3$ với $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

Bước 1.4.2.3.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $- b$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

Bước 1.4.2.3.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

Bước 1.4.2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Bước 1.4.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.5.1

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

Bước 1.4.2.5.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

Bước 1.4.2.5.3

Nhân $- - b^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.5.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

Bước 1.4.2.5.3.2

Nhân $b^{3}$ với $1$ .

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

Bước 1.4.2.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Bước 1.4.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Trừ $a^{3}$ khỏi $a^{3}$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Bước 1.4.3.2

Cộng $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ và $0$ .

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

Bước 1.4.3.3

Trừ $3 a b^{2}$ khỏi $3 a b^{2}$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

Bước 1.4.3.4

Cộng $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ và $0$ .

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

Bước 1.4.4

Cộng $3 a^{2} b$ và $3 a^{2} b$ .

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

Bước 1.4.5

Cộng $b^{3}$ và $b^{3}$ .

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

Bước 1.4.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

Bước 1.4.7

Nhân $2$ với $4$ .

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

Bước 1.4.8

Nhân $6$ với $4$ .

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Bước 2.1.2

Vì $8 b^{3}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $8 b^{3}$ đối với $a$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $24 b$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $24 a^{2} b$ đối với $a$ là $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 24 b (2 a)$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $24$ .

$0 + 48 b a$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Cộng $0$ và $48 b a$ .

$48 b a$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $48 b a$ .

$f'' (a) = 48 a b$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $48 b$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $48 a b$ đối với $a$ là $48 b \frac{d}{d a} [a]$ .

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$48 b \cdot 1$

Bước 3.3

Nhân $48$ với $1$ .

$f''' (a) = 48 b$

Bước 4

Vì $48 b$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $48 b$ đối với $a$ là $0$ .

$f^{4} (a) = 0$