Giải tích Ví dụ

$x^{n}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = n$ .

$f' (x) = n x^{n - 1}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $n$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $n x^{n - 1}$ đối với $x$ là $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ .

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = n - 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

Bước 2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $n ((n - 1) x^{n - 2})$ .

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $n (n - 1)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{n - 2} n (n - 1)$ đối với $x$ là $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ .

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = n - 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

Bước 3.3

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2.2

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $n$ .

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

Bước 3.4.2.6

Viết lại $- 1 n$ ở dạng $- n$ .

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ .

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $(n - 2) (n^{2} - n)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ đối với $x$ là $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = n - 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi $- 3$ .

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

Bước 4.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$