Giải tích Ví dụ

$2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x) \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.4

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.5

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.7

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.8

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Bước 1.9

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 1.10

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 1.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Bước 1.12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Bước 1.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 1.13.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sin (x)$ .

$- 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Bước 2.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 2.3.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Bước 2.4.2

Trừ $4 \cos (x) \sin (x)$ khỏi $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 8 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 8 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 8 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 8 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.8

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Bước 3.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Bước 3.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Bước 3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 8 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 8 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Bước 3.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 8 \cos^{2} (x) - 8 (- \sin^{2} (x))$

Bước 3.13.2

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$f''' (x) = - 8 \cos^{2} (x) + 8 \sin^{2} (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 8 \cos^{2} (x) + 8 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 8 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$- 8 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 8 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 8 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.2.5

Nhân $- 2$ với $- 8$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [8 \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 4.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 8 (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 4.3.4

Nhân $2$ với $8$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin (x) \cos (x)$

Bước 4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $16 \sin (x) \cos (x)$ .

$16 \cos (x) \sin (x) + 16 \cos (x) \sin (x)$

Bước 4.4.2

Cộng $16 \cos (x) \sin (x)$ và $16 \cos (x) \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = 32 \cos (x) \sin (x)$