Giải tích Ví dụ

$15 x^{6} + \frac{1}{4} x^{2} + 2 \sin (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 x^{6} + \frac{1}{4} x^{2} + 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{6}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$15 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.2.3

Nhân $6$ với $15$ .

$90 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$90 x^{5} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$90 x^{5} + \frac{1}{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$90 x^{5} + \frac{2}{4} x + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{2}{4}$ và $x$ .

$90 x^{5} + \frac{2 x}{4} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$90 x^{5} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$90 x^{5} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$90 x^{5} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$90 x^{5} + \frac{x}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f' (x) = 90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $90 x^{5} + \frac{x}{2} + 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [90 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [90 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $90$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $90 x^{5}$ đối với $x$ là $90 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$90 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$90 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.3

Nhân $5$ với $90$ .

$450 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$450 x^{4} + \frac{1}{2} + 2 (- \sin (x))$

Bước 2.4.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 450 x^{4} + \frac{1}{2} - 2 \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $450 x^{4} + \frac{1}{2} - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [450 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [450 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [450 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $450$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $450 x^{4}$ đối với $x$ là $450 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$450 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$450 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.3

Nhân $4$ với $450$ .

$1800 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.3

Vì $\frac{1}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$1800 x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1800 x^{3} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$1800 x^{3} + 0 - 2 \cos (x)$

Bước 3.5

Cộng $1800 x^{3}$ và $0$ .

$f''' (x) = 1800 x^{3} - 2 \cos (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1800 x^{3} - 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1800 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [1800 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $1800$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $1800 x^{3}$ đối với $x$ là $1800 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1800 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$1800 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.3

Nhân $3$ với $1800$ .

$5400 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5400 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$5400 x^{2} - 2 (- \sin (x))$

Bước 4.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f^{4} (x) = 5400 x^{2} + 2 \sin (x)$