Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x}$

Bước 1

Nhân để trục căn thức ở tử.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển tử số bằng phương pháp FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x \sqrt{x} + x (- \sqrt{x}) - {\sqrt{x}}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{1}}{x + \sqrt{x}}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x}{x + \sqrt{x}}$

Bước 3

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.1.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 \cdot 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

Bước 4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

Bước 4.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Bước 4.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

Bước 4.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

Bước 5

Vì $x$ tiến dần đến $\infty$ , phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$

Bước 6

Vì tử số của nó không bị giới hạn trong khi mẫu số của nó tiến dần đến một số không đổi, nên phân số $\frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$ tiến đến vô cùng.

$\infty$