Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 k - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 k$ .

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

Bước 1.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

Bước 1.1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 k + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

Bước 1.2

Viết lại tổng.

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

Bước 2

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

Bước 3.2

Tính $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $\frac{3}{4}$ ra ngoài tổng.

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

Bước 3.2.2

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 3.2.3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Bước 3.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.1

Cộng $31$ và $1$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

Bước 3.2.4.1.2

Nhân $31$ với $32$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $992$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

Bước 3.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

Bước 3.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{248}{2})$

Bước 3.2.4.3

Kết hợp $3$ và $\frac{248}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

Bước 3.2.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.4.1

Nhân $3$ với $248$ .

$\frac{744}{2}$

Bước 3.2.4.4.2

Chia $744$ cho $2$ .

$372$

Bước 3.3

Tính $\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 3.3.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(- \frac{3}{2}) (31)$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $(- \frac{3}{2}) (31)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Nhân $31$ với $- 1$ .

$- 31 (\frac{3}{2})$

Bước 3.3.3.1.2

Kết hợp $- 31$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

Bước 3.3.3.1.3

Nhân $- 31$ với $3$ .

$\frac{- 93}{2}$

Bước 3.3.3.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{93}{2}$

Bước 3.4

Cộng các kết quả của tổng.

$372 - \frac{93}{2}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để viết $372$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $372$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

Bước 3.5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Nhân $372$ với $2$ .

$\frac{744 - 93}{2}$

Bước 3.5.4.2

Trừ $93$ khỏi $744$ .

$\frac{651}{2}$

Bước 4

Tính $\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

Bước 4.2

Rút gọn dạng đã khai triển.

$\frac{15}{4}$

Bước 5

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để viết $\frac{651}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Bước 6.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{651}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Bước 6.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Bước 6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

Bước 6.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $651$ với $2$ .

$\frac{1302 - 15}{4}$

Bước 6.4.2

Trừ $15$ khỏi $1302$ .

$\frac{1287}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1287}{4}$

Dạng thập phân:

$321.75$

Dạng hỗn số:

$321 \frac{3}{4}$