Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 2}^{5} \frac{1}{2 k (k + 1)}$

Bước 1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.3

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.5

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.6

Nhân $6$ với $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.7

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.8

Cộng $4$ và $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.9

Nhân $8$ với $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

Bước 2.1.10

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 (5 + 1)}$

Bước 2.1.11

Cộng $5$ và $1$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 \cdot 6}$

Bước 2.1.12

Nhân $10$ với $6$ .

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.2

Nhân $\frac{1}{12}$ với $\frac{10}{10}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.3

Nhân $\frac{1}{24}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.4

Nhân $\frac{1}{24}$ với $\frac{5}{5}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.5

Nhân $\frac{1}{40}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.6

Nhân $\frac{1}{40}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60}$

Bước 2.2.7

Nhân $\frac{1}{60}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 2.2.8

Nhân $\frac{1}{60}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.9

Sắp xếp lại các thừa số của $12 \cdot 10$ .

$\frac{10}{10 \cdot 12} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.10

Nhân $10$ với $12$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.11

Sắp xếp lại các thừa số của $24 \cdot 5$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{5 \cdot 24} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.12

Nhân $5$ với $24$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.13

Sắp xếp lại các thừa số của $40 \cdot 3$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{3 \cdot 40} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.14

Nhân $3$ với $40$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

Bước 2.2.15

Sắp xếp lại các thừa số của $60 \cdot 2$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{2 \cdot 60}$

Bước 2.2.16

Nhân $2$ với $60$ .

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{120}$

Bước 2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{10 + 5 + 3 + 2}{120}$

Bước 2.4

Cộng $10$ và $5$ .

$\frac{15 + 3 + 2}{120}$

Bước 2.5

Cộng $15$ và $3$ .

$\frac{18 + 2}{120}$

Bước 2.6

Cộng $18$ và $2$ .

$\frac{20}{120}$

Bước 2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $120$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Đưa $20$ ra ngoài $20$ .

$\frac{20 (1)}{120}$

Bước 2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Đưa $20$ ra ngoài $120$ .

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Bước 2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

Bước 2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{6}$

Dạng thập phân:

$0.1\overline{6}$