Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{2 x^{2} + 9}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 8 x^{3} - 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 4

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 5

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 6

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 7

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + 9}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{lim_{x \to 8} 2 x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Bước 9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Bước 10

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 9}$

Bước 11

Tính giới hạn của $9$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Bước 12

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Bước 12.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 9}$

Bước 12.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{4} + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.2

Nhân $8$ với $8^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Nhân $8$ với $8^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1} \cdot 8^{3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{1 + 3} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.2.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 8^{4} - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 1 \cdot 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.4

Nhân $- 1$ với $9$ .

$\frac{\sqrt{4096 + 4096 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.5

Cộng $4096$ và $4096$ .

$\frac{\sqrt{8192 - 9}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.6

Trừ $9$ khỏi $8192$ .

$\frac{\sqrt{8183}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.7

Viết lại $8183$ ở dạng $7^{2} \cdot 167$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.7.1

Đưa $49$ ra ngoài $8183$ .

$\frac{\sqrt{49 (167)}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.7.2

Viết lại $49$ ở dạng $7^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 8^{2} + 9}$

Bước 13.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{2 \cdot 64 + 9}$

Bước 13.2.2

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{128 + 9}$

Bước 13.2.3

Cộng $128$ và $9$ .

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{7 \sqrt{167}}{137}$

Dạng thập phân:

$0.66029150 \dots$