Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 3 e^{2 x} + 2 e^{3 x}}{4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 + 3 e^{2 x} + 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x} + lim_{x \to 8} 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 8} 3 e^{2 x} + lim_{x \to 8} 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 8} e^{2 x} + lim_{x \to 8} 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 5

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1 + 3 e^{lim_{x \to 8} 2 x} + lim_{x \to 8} 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 2 e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 lim_{x \to 8} e^{3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 8

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{lim_{x \to 8} 3 x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 9

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 + 5 e^{2 x} + 7 e^{3 x}}$

Bước 10

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 4 + lim_{x \to 8} 5 e^{2 x} + lim_{x \to 8} 7 e^{3 x}}$

Bước 11

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + lim_{x \to 8} 5 e^{2 x} + lim_{x \to 8} 7 e^{3 x}}$

Bước 12

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 lim_{x \to 8} e^{2 x} + lim_{x \to 8} 7 e^{3 x}}$

Bước 13

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{lim_{x \to 8} 2 x} + lim_{x \to 8} 7 e^{3 x}}$

Bước 14

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 7 e^{3 x}}$

Bước 15

Chuyển số hạng $7$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 7 lim_{x \to 8} e^{3 x}}$

Bước 16

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 7 e^{lim_{x \to 8} 3 x}}$

Bước 17

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 7 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Bước 18

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 \cdot 8} + 2 e^{3 lim_{x \to 8} x}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 7 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Bước 18.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 \cdot 8} + 2 e^{3 \cdot 8}}{4 + 5 e^{2 lim_{x \to 8} x} + 7 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Bước 18.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 \cdot 8} + 2 e^{3 \cdot 8}}{4 + 5 e^{2 \cdot 8} + 7 e^{3 lim_{x \to 8} x}}$

Bước 18.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\frac{1 + 3 e^{2 \cdot 8} + 2 e^{3 \cdot 8}}{4 + 5 e^{2 \cdot 8} + 7 e^{3 \cdot 8}}$

Bước 19

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{16} + 2 e^{3 \cdot 8}}{4 + 5 e^{2 \cdot 8} + 7 e^{3 \cdot 8}}$

Bước 19.1.2

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{16} + 2 e^{24}}{4 + 5 e^{2 \cdot 8} + 7 e^{3 \cdot 8}}$

Bước 19.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{16} + 2 e^{24}}{4 + 5 e^{16} + 7 e^{3 \cdot 8}}$

Bước 19.2.2

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{1 + 3 e^{16} + 2 e^{24}}{4 + 5 e^{16} + 7 e^{24}}$

Bước 20

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1 + 3 e^{16} + 2 e^{24}}{4 + 5 e^{16} + 7 e^{24}}$

Dạng thập phân:

$0.28578957 \dots$