Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - 2 x^{3} - 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 4

Chuyển số hạng $6$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (\frac{6 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 5

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 lim_{x \to 8} x^{3}) - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 7

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 8

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + 9 x^{2} - 7})$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 3 x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

Bước 10

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

Bước 11

Đưa số mũ $4$ từ $x^{4}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

Bước 12

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

Bước 13

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 7})$

Bước 14

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$\cos (\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 15

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 15.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 15.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 15.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$\cos (\frac{6 \cdot 8^{4} - (2 \cdot 8^{3}) - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\cos (\frac{6 \cdot 4096 - 1 \cdot 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.2

Nhân $6$ với $4096$ .

$\cos (\frac{24576 - 1 \cdot 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\cos (\frac{24576 - 2 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.4

Nâng $8$ lên lũy thừa $3$ .

$\cos (\frac{24576 - 2 \cdot 512 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.5

Nhân $- 2$ với $512$ .

$\cos (\frac{24576 - 1024 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\cos (\frac{24576 - 1024 - 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.7

Trừ $1024$ khỏi $24576$ .

$\cos (\frac{23552 - 3}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.1.8

Trừ $3$ khỏi $23552$ .

$\cos (\frac{23549}{3 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nâng $8$ lên lũy thừa $4$ .

$\cos (\frac{23549}{3 \cdot 4096 + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.2.2

Nhân $3$ với $4096$ .

$\cos (\frac{23549}{12288 + 9 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 7})$

Bước 16.2.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos (\frac{23549}{12288 + 9 \cdot 64 - 1 \cdot 7})$

Bước 16.2.4

Nhân $9$ với $64$ .

$\cos (\frac{23549}{12288 + 576 - 1 \cdot 7})$

Bước 16.2.5

Nhân $- 1$ với $7$ .

$\cos (\frac{23549}{12288 + 576 - 7})$

Bước 16.2.6

Cộng $12288$ và $576$ .

$\cos (\frac{23549}{12864 - 7})$

Bước 16.2.7

Trừ $7$ khỏi $12864$ .

$\cos (\frac{23549}{12857})$

Bước 16.3

Tính $\cos (\frac{23549}{12857})$ .

$- 0.25786605$