Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.5.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.2.5.3

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Bước 1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Bước 1.3.1.2

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Bước 1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Bước 1.3.3.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$\frac{0}{0}$

Bước 2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (3 x)}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x) \cdot 1) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.7

Nhân $- 3$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.9

Nhân $\cos (3 x)$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Bước 3.11.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Bước 3.11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Bước 3.12

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Bước 3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Bước 3.14

Nhân $5$ với $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Bước 3.15

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cdot \cos (5 x)}$

Bước 3.16

Nhân $5$ với $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{5 \cos (5 x)}$

Bước 4

Chuyển số hạng $\frac{1}{5}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{\cos (5 x)}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 x \sin (3 x) + \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 7

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 9

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 10

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 11

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 12

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Bước 13

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Bước 14

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 15

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 15.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 15.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Bước 15.4

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Nhân $- 3$ với $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.4

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.5

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.6

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.1.7

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Bước 16.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Bước 16.2.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 16.3

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Bước 16.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Bước 16.4

Nhân $\frac{1}{5}$ với $1$ .

$\frac{1}{5}$