Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ bằng cách di chuyển $2 x + 1$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.6

Chuyển giới hạn vào bên trong logarit.

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

Bước 2.7

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Bước 2.8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Bước 2.9

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Bước 2.10

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

Bước 2.11

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

Bước 2.12

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

Bước 2.13

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $8$ .

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Bước 3

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $8$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Bước 3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

Bước 3.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $8$ cho $x$ .

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $8$ .

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Bước 4.2

Cộng $16$ và $1$ .

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

Bước 4.3

Rút gọn $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ bằng cách di chuyển $17$ trong logarit.

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

Bước 4.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $2$ với $8$ .

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Bước 4.5.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Bước 4.5.3

Trừ $3$ khỏi $16$ .

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

Bước 4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $2$ với $8$ .

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

Bước 4.6.2

Cộng $16$ và $5$ .

${(\frac{13}{21})}^{17}$

Bước 4.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{13}{21}$ .

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

Bước 4.8

Nâng $13$ lên lũy thừa $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

Bước 4.9

Nâng $21$ lên lũy thừa $17$ .

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

Bước 4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $8650415919381340000$ và $30041942495081700000000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.1

Đưa $20000$ ra ngoài $8650415919381340000$ .

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

Bước 4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.10.2.1

Đưa $20000$ ra ngoài $30041942495081700000000$ .

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Bước 4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

Bước 4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$