Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 2} d x$

Bước 1

Viết lại ${(x + 3)}^{2}$ ở dạng $(x + 3) (x + 3)$ .

$\int \frac{(x + 3) (x + 3)}{x + 2} d x$

Bước 2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x (x + 3) + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Bước 3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)}{x + 2} d x$

Bước 4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 5

Sắp xếp lại $x$ và $3$ .

$\int \frac{x \cdot x + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{x^{1} x + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{x^{1 + 1} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3}{x + 2} d x$

Bước 9.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 3 x + 9}{x + 2} d x$

Bước 10

Cộng $3 x$ và $3 x$ .

$\int \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 2} d x$

Bước 11

Chia $x^{2} + 6 x + 9$ cho $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$6 x$

$9$

Bước 11.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$

Bước 11.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Bước 11.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Bước 11.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$

Bước 11.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Bước 11.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$

Bước 11.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					+	$4 x$	+	$8$

Bước 11.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 x + 8$

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$

Bước 11.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$6 x$	+	$9$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					+	$4 x$	+	$9$
					-	$4 x$	-	$8$
							+	$1$

Bước 11.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int x + 4 + \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 4 d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Bước 15

Giả sử $u = x + 2$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Hãy đặt $u = x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Tính đạo hàm $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 15.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 15.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 15.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 15.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 15.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Bước 16

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 x + C + \ln (| u |) + C$

Bước 17

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| u |) + C$

Bước 18

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x + 2 |) + C$