Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{y^{4}}{y^{5} + 1} d y$

Bước 2

Viết lại $y^{5}$ ở dạng ${(y^{5})}^{1}$ .

$2 \int \frac{y^{4}}{{(y^{5})}^{1} + 1} d y$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = y^{5}$ . Sau đó $d u_{1} = 5 y^{4} d y$ , nên $\frac{1}{5} d u_{1} = y^{4} d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = y^{5}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $y^{5}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 y^{4}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn.

$2 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{5} d u_{1}$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{u_{1} + 1}$ với $\frac{1}{5}$ .

$2 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 5} d u_{1}$

Bước 4.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $u_{1} + 1$ .

$2 \int \frac{1}{5 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1})$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $2$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 7

Giả sử $u_{2} = u_{1} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Bước 7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} + 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 7.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 7.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{5} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{2}{5} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} + 1$ .

$\frac{2}{5} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y^{5}$ .

$\frac{2}{5} \ln (| y^{5} + 1 |) + C$