Giải tích Ví dụ

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ ở dạng $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ .

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Bước 1.2

Khai triển $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Bước 1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

Bước 1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nhân $\sqrt{a} \sqrt{a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1.1

Nâng $\sqrt{a}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.1.2

Nâng $\sqrt{a}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2

Viết lại ${\sqrt{a}}^{2}$ ở dạng $a$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{a}$ ở dạng $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.2.5

Rút gọn.

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.5

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

Bước 1.3.1.6

Nhân $- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Bước 1.3.1.6.2

Nhân $\sqrt{x}$ với $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

Bước 1.3.1.6.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

Bước 1.3.1.6.4

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

Bước 1.3.1.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

Bước 1.3.1.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

Bước 1.3.1.7

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Bước 1.3.1.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Bước 1.3.1.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Bước 1.3.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

Bước 1.3.1.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

Bước 1.3.1.7.5

Rút gọn.

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

Bước 1.3.2

Trừ $\sqrt{a x}$ khỏi $- \sqrt{x a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Sắp xếp lại $x$ và $a$ .

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

Bước 1.3.2.2

Trừ $\sqrt{a x}$ khỏi $- \sqrt{a x}$ .

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Bước 4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

Bước 5

Giả sử $u = a x$ . Sau đó $d u = a d x$ , nên $\frac{1}{a} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = a x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $a x$ .

$\frac{d}{d x} [a x]$

Bước 5.1.2

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $a$ với $1$ .

$a$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

Bước 6

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{a}$ .

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{a}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{a}$ ra khỏi tích phân.

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{a}$ và $- 2$ .

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Bước 8.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

Bước 8.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$