Giải tích Ví dụ

$\int_{0.5}^{4} x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1 d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0.5}^{4} x^{3} d x + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} + \int_{0.5}^{4} - 6 x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 3

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 \int_{0.5}^{4} x^{2} d x + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} 9 x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 6

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 \int_{0.5}^{4} x d x + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + \int_{0.5}^{4} d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4}) + x]_{0.5}^{4}$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{4} x^{4}]_{0.5}^{4}$ và $x]_{0.5}^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x]_{0.5}^{4} - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{1}{4} x^{4} + x$ tại $4$ và tại $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{x^{3}}{3}]_{0.5}^{4}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $4$ và tại $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{x^{2}}{2}]_{0.5}^{4})$

Bước 10.2.3

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0.5$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 4^{4} + 4) - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 256 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $256$ .

$\frac{256}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{64}{1} + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.3.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$64 + 4 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.4

Cộng $64$ và $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot {0.5}^{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.5

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $4$ .

$68 - (\frac{1}{4} \cdot 0.0625 + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.6

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $0.0625$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.7

Để viết $0.5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + 0.5 \cdot \frac{4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.8

Kết hợp $0.5$ và $\frac{4}{4}$ .

$68 - (\frac{0.0625}{4} + \frac{0.5 \cdot 4}{4}) - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$68 - \frac{0.0625 + 0.5 \cdot 4}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.10

Nhân $0.5$ với $4$ .

$68 - \frac{0.0625 + 2}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.11

Cộng $0.0625$ và $2$ .

$68 - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.12

Để viết $68$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$68 \cdot \frac{4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.13

Kết hợp $68$ và $\frac{4}{4}$ .

$\frac{68 \cdot 4}{4} - \frac{2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{68 \cdot 4 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.15

Nhân $68$ với $4$ .

$\frac{272 - 2.0625}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.16

Trừ $2.0625$ khỏi $272$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.17

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{{0.5}^{3}}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.18

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{64}{3} - \frac{0.125}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{269.9375}{4} - 6 \frac{64 - 0.125}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.20

Trừ $0.125$ khỏi $64$ .

$\frac{269.9375}{4} - 6 (\frac{63.875}{3}) + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.21

Kết hợp $- 6$ và $\frac{63.875}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 6 \cdot 63.875}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.22

Nhân $- 6$ với $63.875$ .

$\frac{269.9375}{4} + \frac{- 383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{269.9375}{4} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.24

Để viết $\frac{269.9375}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.25

Để viết $- \frac{383.25}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.26.1

Nhân $\frac{269.9375}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25}{3} \cdot \frac{4}{4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26.3

Nhân $\frac{383.25}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.26.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{269.9375 \cdot 3}{12} - \frac{383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{269.9375 \cdot 3 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.28

Nhân $269.9375$ với $3$ .

$\frac{809.8125 - 383.25 \cdot 4}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.29

Nhân $- 383.25$ với $4$ .

$\frac{809.8125 - 1533}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.30

Trừ $1533$ khỏi $809.8125$ .

$\frac{- 723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.31

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.32

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{16}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.33

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.33.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.33.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.33.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.33.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.33.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8}{1} - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.33.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{{0.5}^{2}}{2})$

Bước 10.2.4.34

Nâng $0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 - \frac{0.25}{2})$

Bước 10.2.4.35

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Bước 10.2.4.36

Kết hợp $8$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{0.25}{2})$

Bước 10.2.4.37

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{8 \cdot 2 - 0.25}{2}$

Bước 10.2.4.38

Nhân $8$ với $2$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 \frac{16 - 0.25}{2}$

Bước 10.2.4.39

Trừ $0.25$ khỏi $16$ .

$- \frac{723.1875}{12} + 9 (\frac{15.75}{2})$

Bước 10.2.4.40

Kết hợp $9$ và $\frac{15.75}{2}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{9 \cdot 15.75}{2}$

Bước 10.2.4.41

Nhân $9$ với $15.75$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2}$

Bước 10.2.4.42

Để viết $\frac{141.75}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Bước 10.2.4.43

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.43.1

Nhân $\frac{141.75}{2}$ với $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{2 \cdot 6}$

Bước 10.2.4.43.2

Nhân $2$ với $6$ .

$- \frac{723.1875}{12} + \frac{141.75 \cdot 6}{12}$

Bước 10.2.4.44

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 723.1875 + 141.75 \cdot 6}{12}$

Bước 10.2.4.45

Nhân $141.75$ với $6$ .

$\frac{- 723.1875 + 850.5}{12}$

Bước 10.2.4.46

Cộng $- 723.1875$ và $850.5$ .

$\frac{127.3125}{12}$

Bước 11

Chia $127.3125$ cho $12$ .

$10.609375$

Bước 12