Giải tích Ví dụ

$\int {(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\int \sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $x = 4 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 4 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $4 \cos (t)$ dương.

$\int \sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.1.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa $16$ ra ngoài $16$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.3

Đưa $16$ ra ngoài $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.4

Đưa $16$ ra ngoài $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.7

Nâng $16$ lên lũy thừa $3$ .

$\int \sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8

Nhân các số mũ trong ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.8.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\int \sqrt{4096 \cos^{6} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.9

Viết lại $4096 \cos^{6} (t)$ ở dạng ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.1.10

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int 64 \cos^{3} (t) (4 \cos (t)) d t$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $4$ với $64$ .

$\int 256 \cos^{3} (t) \cos (t) d t$

Bước 3.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 256 (\cos^{1} (t) \cos^{3} (t)) d t$

Bước 3.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 256 {\cos (t)}^{1 + 3} d t$

Bước 3.2.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\int 256 \cos^{4} (t) d t$

Bước 4

Vì $256$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $256$ ra khỏi tích phân.

$256 \int \cos^{4} (t) d t$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$256 \int {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Bước 5.2

Viết lại ${\cos (t)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$256 \int {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Bước 6

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Bước 7

Giả sử $u_{1} = 2 t$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 7.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$256 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$256 (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1})$

Bước 9

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $256$ .

$\frac{256}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $256$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{128}{1} \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.1.2.2.4

Chia $128$ cho $1$ .

$128 \int {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ ở dạng một tích.

$128 \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Bước 9.3

Khai triển ${(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1}))) d u_{1}$

Bước 9.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$128 \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$128 \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1}) (\frac{1}{2} \cdot \cos (u_{1})) d u_{1}$

Bước 9.3.7