Giải tích Ví dụ

$\int \frac{10 z^{4} - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 z^{4} - 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $10$ ra ngoài $10 z^{4}$ .

$\int \frac{10 (z^{4}) - 20}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Bước 1.1.2

Đưa $10$ ra ngoài $- 20$ .

$\int \frac{10 z^{4} + 10 \cdot - 2}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Bước 1.1.3

Đưa $10$ ra ngoài $10 z^{4} + 10 \cdot - 2$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z^{5} - 10 z}} d z$

Bước 1.2

Đưa $z$ ra ngoài $z^{5} - 10 z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $z$ ra ngoài $z^{5}$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} - 10 z}} d z$

Bước 1.2.2

Đưa $z$ ra ngoài $- 10 z$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z \cdot z^{4} + z \cdot - 10}} d z$

Bước 1.2.3

Đưa $z$ ra ngoài $z \cdot z^{4} + z \cdot - 10$ .

$\int \frac{10 (z^{4} - 2)}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Bước 2

Vì $10$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int \frac{z^{4} - 2}{\sqrt{z (z^{4} - 10)}} d z$

Bước 3

Giả sử $u = z (z^{4} - 10)$ . Sau đó $d u = (5 z^{4} - 10) d z$ , nên $\frac{1}{5} d u = (z^{4} - 2) d z$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = z (z^{4} - 10)$ . Tìm $\frac{d u}{d z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $z (z^{4} - 10)$ .

$\frac{d}{d z} [z (z^{4} - 10)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ là $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ trong đó $f (z) = z$ và $g (z) = z^{4} - 10$ .

$z \frac{d}{d z} [z^{4} - 10] + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z^{4} - 10$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]$ .

$z (\frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$z (4 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 10]) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.3.3

Vì $- 10$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- 10$ đối với $z$ là $0$ .

$z (4 z^{3} + 0) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.3.4

Cộng $4 z^{3}$ và $0$ .

$z (4 z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.4

Nâng $z$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (z^{1} z^{3}) + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 z^{1 + 3} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.6

Cộng $1$ và $3$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \frac{d}{d z} [z]$

Bước 3.1.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 z^{4} + (z^{4} - 10) \cdot 1$

Bước 3.1.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.8.1

Nhân $z^{4} - 10$ với $1$ .

$4 z^{4} + z^{4} - 10$

Bước 3.1.8.2

Cộng $4 z^{4}$ và $z^{4}$ .

$5 z^{4} - 10$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{5} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{5}$ .

$10 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 5} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$10 \int \frac{1}{5 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $10$ .

$\frac{10}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $z (z^{4} - 10)$ .

$4 {(z (z^{4} - 10))}^{\frac{1}{2}} + C$