Giải tích Ví dụ

$\int (x^{2} + 1) e^{2 x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2} + 1$ và $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x$

Bước 2.3

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{2 e^{2 x}}{2}$ và $x$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Bước 2.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x$

Bước 2.5.2

Chia $e^{2 x} x$ cho $1$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 4.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Bước 6

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Bước 7

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $(x^{2} + 1) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Bước 11.2.2

Để viết $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 11.2.3

Kết hợp $- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{- (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 11.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 11.2.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{u}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{2 x}}{4}$ vào tử số.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.4.2

Nhân $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.4.2.2

Nhân $\frac{e^{2 x}}{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.5

Để viết $- x e^{2 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.6

Kết hợp $- x e^{2 x}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.8.1.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.8.1.2

Nhân với $1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.8.1.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.10

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.11

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.12

Viết lại $- (2 x - 1)$ ở dạng $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 13.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2}}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1)) + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$