Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - \sqrt{x} + 8 x^{3} - e^{x} d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 5.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 7.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 7.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x} d x + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C + \int - \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int \sqrt{x} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 11

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 13

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 14

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 15

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - e^{x} d x$

Bước 17

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int e^{x} d x$

Bước 18

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C) + \ln (| x |) + C - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (e^{x} + C)$

Bước 19

Rút gọn.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{4} - e^{x} + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \ln (| x |) - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{4} - e^{x} + C$