Giải tích Ví dụ

$\int (1 - \cos (\frac{x}{2})) \sin (\frac{x}{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $(1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1})$ .

$\int 2 (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int (1 - \cos (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int - 1 + u_{2} d u_{2}$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int - 1 d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (- u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$2 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Bước 8.2

Rút gọn.

$2 (- u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Bước 9

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (u_{1})$ .

$2 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (u_{1})) + C$

Bước 9.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2})) + C$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) + \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2}) + C$

Bước 10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \cos (\frac{x}{2})) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Bước 10.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Bước 10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\cos^{2} (\frac{x}{2})}{2} + C$

Bước 10.4.2

Viết lại biểu thức.

$- 2 \cos (\frac{x}{2}) + \cos^{2} (\frac{x}{2}) + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 2 \cos (\frac{1}{2} x) + \cos^{2} (\frac{1}{2} x) + C$