Giải tích Ví dụ

$\int 2 e^{2 y} - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int e^{2 y} d y + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 2 y$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 y$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 4

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 6.3

Nhân $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ với $1$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 7

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C + \int - 2 e^{- 2 y} d y$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{- 2 y} d y$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = - 2 y$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d y$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 y$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Bước 9.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{u_{1}} + C - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 10.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{u_{1}} + C - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{u_{1}} + C - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Bước 12

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$e^{u_{1}} + C + 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{u_{1}} + C + 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{u_{1}} + C + \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 14.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{u_{1}} + C + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 14.3

Nhân $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$e^{u_{1}} + C + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 15

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{1}} + C + e^{u_{2}} + C$

Bước 16

Rút gọn.

$e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$e^{2 y} + e^{u_{2}} + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 y$ .

$e^{2 y} + e^{- 2 y} + C$