Giải tích Ví dụ

$\int 2 \cos (7 x) - \sin (\frac{x}{2}) - π d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \cos (7 x) d x + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 7 x$ . Sau đó $d u_{1} = 7 d x$ , nên $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 7 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Bước 3.1.2

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $7$ với $1$ .

$7$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 4

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{7}$ .

$2 \int \frac{\cos (u_{1})}{7} d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $2$ .

$\frac{2}{7} \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 7

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) + \int - \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (\frac{x}{2}) d x + \int - π d x$

Bước 9

Giả sử $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 9.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2} + \int - π d x$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2} + \int - π d x$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int \sin (u_{2}) \cdot 2 d u_{2} + \int - π d x$

Bước 10.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Bước 11

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2}) + \int - π d x$

Bước 12

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 \int \sin (u_{2}) d u_{2} + \int - π d x$

Bước 13

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) + \int - π d x$

Bước 14

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{2}{7} (\sin (u_{1}) + C) - 2 (- \cos (u_{2}) + C) - π x + C$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{2 \sin (u_{1})}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 x$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (u_{2}) - π x + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 \sin (7 x)}{7} + 2 \cos (\frac{x}{2}) - π x + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2}{7} \sin (7 x) + 2 \cos (\frac{1}{2} x) - π x + C$