Giải tích Ví dụ

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sin (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Bước 1.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Bước 1.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Bước 1.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Bước 1.4.2.2

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Bước 1.4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.2.7

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 \sin (2 x) - 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 \sin (2 x)$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.5

Nhân $2$ với $1$ .

$- 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$- 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.2.7

Nhân $2$ với $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 8 \cos (2 x) - 2 (- \sin (x))$

Bước 4.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 8 \cos (2 x) + 2 \sin (x)$