Giải tích Ví dụ

$y = 9 \tan (\frac{x}{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 \tan (\frac{x}{3})$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$9 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{3}$ .

$9 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $9$ .

$\frac{9}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.2

Kết hợp $\frac{9}{3}$ và $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (3 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.2.3.2.4

Chia $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ cho $1$ .

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 1$

Bước 1.3.4

Nhân $3$ với $1$ .

$f' (x) = 3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \sec^{2} (\frac{x}{3})$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (\frac{x}{3})$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (\frac{x}{3})$ .

$3 (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{3}$ .

$6 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.5

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.6

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$6 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 2.9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $6$ .

$\frac{6}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.2

Kết hợp $\frac{6}{3}$ và $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.3

Kết hợp $\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ và $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.10.4.2.4

Chia $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ cho $1$ .

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 1$

Bước 2.12

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ và $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{3}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.4

Nhân $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ với $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 ({\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.4.3

Cộng $2$ và $2$ .

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.5.4

Nhân $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ với $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Bước 3.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Bước 3.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \tan (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]))$

Bước 3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.8.2

Đạo hàm của $\sec (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\frac{x}{3}$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.9

Nâng $\tan (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.10

Nâng $\tan (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 (\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{1} (\frac{x}{3})) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 {\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]))$

Bước 3.13

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 3.14

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 3.16

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])$

Bước 3.17

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.18

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.18.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2}{3} \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.18.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3} \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.18.3

Kết hợp $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ và $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.19

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} \cdot 1)$

Bước 3.20

Nhân $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ với $1$ .

$2 (\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3})$

Bước 3.21

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.21.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 3.21.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.21.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{\sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + 2 \frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 3.21.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 (2 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3}$

Bước 3.21.2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3})}{3}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\sec^{4} (\frac{x}{3})] + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{2}{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.3.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{x}{3}$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.6

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.8

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ và $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} (4 \sec^{3} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.9

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ và $4$ .

$\frac{2}{3} (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} \sec^{3} (\frac{x}{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.10

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3}$ và $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4 \sec^{3} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.11

Nhân $\sec (\frac{x}{3})$ với $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.1

Di chuyển $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.11.2

Nhân $\sec^{3} (\frac{x}{3})$ với $\sec (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.11.2.1

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{3 + 1} \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.11.3

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 4}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.12

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4 \cdot (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.13

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{2 (4 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.14

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.2.15

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4 \tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \tan^{2} (\frac{x}{3})$ và $g (x) = \sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (\frac{x}{3})] + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{3})]) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{4}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.4.2

Đạo hàm của $\sec (u_{4})$ đối với $u_{4}$ là $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{4}$ với $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (\frac{x}{3})])$

Bước 4.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{5}$ ở dạng $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Bước 4.3.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ là $n {u_{5}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 u_{5} \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Bước 4.3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{5}$ với $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{3})]))$

Bước 4.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \tan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{6}$ ở dạng $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\frac{d}{d u_{6}} [\tan (u_{6})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Bước 4.3.8.2

Đạo hàm của $\tan (u_{6})$ đối với $u_{6}$ là $\sec^{2} (u_{6})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (u_{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Bước 4.3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{6}$ với $\frac{x}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}])))$

Bước 4.3.9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]))))$

Bước 4.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.11

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3} \tan (\frac{x}{3}))) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.13

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3})}{3}$ và $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.14

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ và $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \sec (\frac{x}{3})) + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.15

Kết hợp $\frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ và $\sec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.16

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.17

Nâng $\sec (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 (\sec^{1} (\frac{x}{3}) \sec^{1} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 {\sec (\frac{x}{3})}^{1 + 1}}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.19

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\tan (\frac{x}{3}) \cdot 2 \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.20

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\tan^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.21

Kết hợp $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ và $\frac{2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.22

Nhân $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ với $\tan (\frac{x}{3})$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.22.1

Di chuyển $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.22.2

Nhân $\tan (\frac{x}{3})$ với $\tan^{2} (\frac{x}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.22.2.1

Nâng $\tan (\frac{x}{3})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{1} (\frac{x}{3}) \tan^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.22.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{{\tan (\frac{x}{3})}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.22.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{\tan^{3} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.23

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{3} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \cdot \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{1}{3} \cdot 1))))$

Bước 4.3.24

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}) (\sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{1}{3})))$

Bước 4.3.25

Kết hợp $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ và $\frac{1}{3}$ .

Bước 4.3.26

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ và $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) (\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3} \tan (\frac{x}{3})))$

Bước 4.3.27

Kết hợp $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2}{3}$ và $\tan (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \cdot 2 \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Bước 4.3.28

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \sec^{2} (\frac{x}{3}) \frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Bước 4.3.29

Kết hợp $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ và $\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \sec^{2} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Bước 4.3.30

Nhân $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ với $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.30.1

Di chuyển $\sec^{2} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{2} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Bước 4.3.30.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{{\sec (\frac{x}{3})}^{2 + 2} (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Bước 4.3.30.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{\sec^{4} (\frac{x}{3}) (2 \tan (\frac{x}{3}))}{3})$

Bước 4.3.31

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (\frac{x}{3})$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} (\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3})$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 4.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 4.4.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 4.4.2.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3}))}{9} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$

Bước 4.4.2.4

Nhân $\frac{4}{3}$ với $\frac{2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{3}$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{4 (2 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

Bước 4.4.2.5

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{3 \cdot 3}$

Bước 4.4.2.6

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{8 (\sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

Bước 4.4.2.7

Cộng $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ và $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ .

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + 2 \frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$

Bước 4.4.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$ .

$\frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{2 (8 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3}))}{9}$

Bước 4.4.2.9

Nhân $8$ với $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 \tan^{3} (\frac{x}{3}) \sec^{2} (\frac{x}{3})}{9} + \frac{16 \sec^{4} (\frac{x}{3}) \tan (\frac{x}{3})}{9}$