Giải tích Ví dụ

$y = \cos (x) + \tan (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \sin (x) + \sec^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \cos (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Bước 2.3.3

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Bước 2.3.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- \cos (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Bước 2.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \cos (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Bước 2.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \cos (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.2.4

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.2.5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.2.6

Kết hợp.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.2.7

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.7.1

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.7.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.2.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \cos (x)$

Bước 2.4.2.7.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.3.2

Tách các phân số.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x)$

Bước 2.4.3.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.3.4

Nhân với $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.3.5

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.3.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Bước 2.4.3.7

Chia $2$ cho $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sec^{2} (x)$ và $g (x) = \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.5

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.6

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.6.2

Cộng $2$ và $2$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.7

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.8

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.10

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.11

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.12

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.2.14

Cộng $1$ và $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \cos (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - - \sin (x)$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + 1 \sin (x)$

Bước 3.3.4

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \sec^{4} (x) + 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \sin (x)$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \sec^{4} (x) + 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.7

Kết hợp.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.8

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.8.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.8.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.4.9

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} + \sin (x)$

Bước 3.4.4.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.4.11

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.4.12

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Nhân với $1$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{4} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.2

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài $\cos^{4} (x)$ .

$\frac{4 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.3

Tách các phân số.

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.4

Quy đổi từ $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ sang $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.5

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.6

Nhân với $1$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.7

Tách các phân số.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.8

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{4}{1} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.9

Chia $4$ cho $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.10

Nhân với $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{\cos^{4} (x) \cdot 1} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.11

Tách các phân số.

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} + \sin (x)$

Bước 3.4.5.12

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ sang $\sec^{4} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \frac{2}{1} \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 3.4.5.13

Chia $2$ cho $1$ .

$f''' (x) = 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + 2 \sec^{4} (x) + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.2

$4 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)] + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.6

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) (2 \tan (x) \sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.7

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.7.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 ({\sec (x)}^{2 + 2} (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.7.3

Cộng $2$ và $2$ .

$4 (\sec^{4} (x) (2 \tan (x)) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{4} (x)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.9

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.10

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.13

Nhân $\tan^{2} (x)$ với $\tan (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.1

Di chuyển $\tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.13.2

Nhân $\tan (x)$ với $\tan^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.13.2.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{2} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.13.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 2} (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.13.3

Cộng $1$ và $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + \tan^{3} (x) (2 \sec^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.2.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan^{3} (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sec^{4} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 \sec^{4} (x)$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ là $n {u_{3}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\sec (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.3

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.4

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.6

Cộng $1$ và $3$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 2 (4 \sec^{4} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.3.7

Nhân $4$ với $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x) + 2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (2 \sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Nhân $2$ với $4$ .

$8 (\sec^{4} (x) \tan (x)) + 4 (2 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 (\tan^{3} (x) \sec^{2} (x)) + 8 \sec^{4} (x) \tan (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.2.3

Cộng $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ và $8 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$16 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$16 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$16 \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.4

Kết hợp $16$ và $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.5

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.6

Kết hợp.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.7

Nhân $\cos^{4} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.7.1

Nhân $\cos^{4} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.7.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{4} (x) \cos^{1} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{16 \sin (x)}{{\cos (x)}^{4 + 1}} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.7.2

Cộng $4$ và $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.8

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.9

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + 8 \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.10

Kết hợp $8$ và $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \sec^{2} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.3.11

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.12

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.13

Kết hợp.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.14

Nhân $\cos^{3} (x)$ với $\cos^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.14.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{{\cos (x)}^{3 + 2}} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.14.2

Cộng $3$ và $2$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1^{2}}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.3.15.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x) \cdot 1}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.3.15.2

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos^{5} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.4.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{5} (x)$ .

$\frac{16 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{4} (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.2

Tách các phân số.

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.3

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.4

Nhân với $1$ .

$\frac{16}{\cos^{4} (x) \cdot 1} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.5

Tách các phân số.

$\frac{16}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{4} (x)} \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.6

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ sang $\sec^{4} (x)$ .

$\frac{16}{1} \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.7

Chia $16$ cho $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.8

Nhân với $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{5} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.9

Đưa $\cos^{3} (x)$ ra ngoài $\cos^{5} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 (\sin^{3} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x) \cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.10

Tách các phân số.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} + \cos (x)$

Bước 4.5.4.11

Quy đổi từ $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$ sang $\tan^{3} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8 \cdot (1)}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.4.12

Nhân $8$ với $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.4.13

Nhân với $1$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.4.14

Tách các phân số.

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.4.15

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$16 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{8}{1} \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$

Bước 4.5.4.16

Chia $8$ cho $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sec^{4} (x) \tan (x) + 8 \sec^{2} (x) \tan^{3} (x) + \cos (x)$